Thèse de doctorat:
Groupe de tresses affine, algèbre de Temperley-Lieb affine et trace de Markov
Dans cette thèse on définit une tour d'algèbres de Temperley-Lieb affines de type à sur laquelle on définit une trace de Markov et on montre qu'il y a une unique telle trace. Pour y parvenir, on travaille sur quatre niveaux de type à : groupes de tresses affines, groupes de Coxeter affines, algèbres de Hecke affines et algèbres de Temperley-Lieb affines.
Au niveau des tresses, on montre que le groupe de tresses affine de type à à n+1 générateurs se surjecte sur le groupe de tresses affine de type A à n générateurs, on montre que cette surjection provient d'un quotient sur un certain sous-groupe et on définit la notion d’entrelacs affine.
Au niveau Coxeter, on étudie le groupe de Coxeter affine de type à à n+1 générateurs, on donne un système complet de représentants des classes à gauche et des double-classes du groupe de Coxeter affine de type à à n générateurs, puis on classifie les éléments pleinement commutatifs et on donne une forme normale pour ces éléments.
Au niveau Hecke, on définit une tour d'algèbres de Hecke affines de type Ã, on montre que cette tour est une tour d'inclusions, et on montre que cette tour ``se surjecte'' sur la tour d'algèbres de Hecke de type A.
Au niveau Temperley-Lieb, on définit une tour d'algèbres de Temperley-Lieb affines de type Ã, on définit une trace de Markov comme une collection de traces sur cette tour dans sa forme la plus générale (compatibilité avec les entrelacs affines). On obtient l'existence d'une telle trace en montrant que la tour mentionnée ``se surjecte'' sur la tour d'algèbres de Temperley-Lieb de type A et finalement on montre que cette trace est unique en utilisant la forme normale des éléments pleinement commutatifs dans le groupe de Coxeter affine de type Ã.
Dans cette thèse on définit une tour d'algèbres de Temperley-Lieb affines de type à sur laquelle on définit une trace de Markov et on montre qu'il y a une unique telle trace. Pour y parvenir, on travaille sur quatre niveaux de type à : groupes de tresses affines, groupes de Coxeter affines, algèbres de Hecke affines et algèbres de Temperley-Lieb affines.
Au niveau des tresses, on montre que le groupe de tresses affine de type à à n+1 générateurs se surjecte sur le groupe de tresses affine de type A à n générateurs, on montre que cette surjection provient d'un quotient sur un certain sous-groupe et on définit la notion d’entrelacs affine.
Au niveau Coxeter, on étudie le groupe de Coxeter affine de type à à n+1 générateurs, on donne un système complet de représentants des classes à gauche et des double-classes du groupe de Coxeter affine de type à à n générateurs, puis on classifie les éléments pleinement commutatifs et on donne une forme normale pour ces éléments.
Au niveau Hecke, on définit une tour d'algèbres de Hecke affines de type Ã, on montre que cette tour est une tour d'inclusions, et on montre que cette tour ``se surjecte'' sur la tour d'algèbres de Hecke de type A.
Au niveau Temperley-Lieb, on définit une tour d'algèbres de Temperley-Lieb affines de type Ã, on définit une trace de Markov comme une collection de traces sur cette tour dans sa forme la plus générale (compatibilité avec les entrelacs affines). On obtient l'existence d'une telle trace en montrant que la tour mentionnée ``se surjecte'' sur la tour d'algèbres de Temperley-Lieb de type A et finalement on montre que cette trace est unique en utilisant la forme normale des éléments pleinement commutatifs dans le groupe de Coxeter affine de type Ã.